מציאת פרמטר והוכחהאינדוקציה 571 · שיעור 5

אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 5: מציאת פרמטר והוכחה

פרק 1 – מהי אינדוקציה והוכחת נוסחת סכום

1נוסח השאלה

2סעיף א – מציאת a

3סעיף ב – הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

נתון כי השוויון

1 + 4 + 7 + … + (3n − 2)

= n(3n + a)2

מתקיים בעבור n = 2. a הוא פרמטר.

א. מצאו את a.

ב. הציבו את הערך של a שמצאתם והוכיחו באינדוקציה כי השוויון מתקיים לכל n טבעי.

סעיף א – מציאת a

1 + 4 + 7 + … + (3n − 2)
= n(3n + a)2

בעבור n = 2 באגף שמאל יש שני איברים: 3 · 1 − 2 = 1 ו־3 · 2 − 2 = 4.

1 + 4 = 5

נציב n = 2 באגף ימין ונשווה:

2(3 · 2 + a)2 = 5

6 + a = 5

a = −1

✅ פתרון סופי: a = −1

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה

1 + 4 + 7 + … + (3n − 2)
= n(3n + a)2

נוכיח: 1 + 4 + … + (3n − 2) = n(3n − 1)2

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: 3 · 1 − 2 = 1.

אגף ימין:

1 · (3 − 1)2 = 22 = 1 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה · המשך

1 + 4 + 7 + … + (3n − 2)
= n(3n + a)2

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

1 + 4 + … + (3k − 2) = k(3k − 1)2

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

האיבר האחרון בעבור n = k + 1 הוא 3(k + 1) − 2 = 3k + 1.

צ״ל: 1 + 4 + … + (3k − 2) + (3k + 1) = (k + 1)(3k + 2)2

נציב במקום 1 + 4 + … + (3k − 2) את k(3k − 1)2:

📐 הנחת האינדוקציה

צ״ל: k(3k − 1)2 + (3k + 1) = (k + 1)(3k + 2)2

📐 הנחת האינדוקציה

1 + 4 + … + (3k − 2) = k(3k − 1)2

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה · המשך

1 + 4 + 7 + … + (3n − 2)
= n(3n + a)2

צ״ל: k(3k − 1)2 + (3k + 1) = (k + 1)(3k + 2)2

נעשה מכנה משותף 2:

📐 מכנה משותף

k(3k − 1)2 + (3k + 1) = k(3k − 1) + 2(3k + 1)2

נפתח את הסוגריים במונה:

= 3k² − k + 6k + 22

= 3k² + 5k + 22

📐 מכנה משותף

a2 + b = a2 + 2b2 = a + 2b2

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה · המשך

1 + 4 + 7 + … + (3n − 2)
= n(3n + a)2

= 3k² + 5k + 22

נפתח את הסוגריים שבצ״ל:

📐 פתיחת סוגריים

(k + 1)(3k + 2) = 3k² + 2k + 3k + 2 = 3k² + 5k + 2

3k² + 5k + 22 = (k + 1)(3k + 2)2 ✓

קיבלנו בדיוק את מה שצריך להוכיח, ולכן הטענה נכונה בעבור n = k + 1.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 פתיחת סוגריים

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא